Question

【题目】如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为 ．

（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取BC的中点为M，连接FM，则可证AM⊥平面BCD，四边形AEFM为平行四边形，

所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC

（2）解：取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角， ，

设AB=x，则有 ，得AB=2，取DE的中点为G，

以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OG为z轴，建立如图空间直角坐标系，则 ，

由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一个法向量 =（ ，﹣1，2），

设平面BCE的一个法向量 =（1，y，z），由，由此得平面BCE的一个法向量 =（1， ，2 ），

则cos＜ ， ＞= = = =

所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．