Question

【题目】已知函数

（1）若，且在上单调递增，求实数的取值范围

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）实数是存在的，且.

【解析】试题分析：（1）首先对函数求导，由已知在时恒成立，得，又由，即可求解正实数的取值范围；（2）利用反证法，假设存在这样的实数，则在时恒成立，可得，利用导数判断函数，即可求解参数的取值.

试题解析：（1），由已知在时恒成立，即恒成立，分离参数得，又，所以正实数的取值范围为.

（2）假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号，故，即，故，解得，从而这样的实数必须为正实数.

当时，由（1）知在上递增，所以，此时不合题意.故这样的必须满足，此时，令，得的增区间为；令，得的减区间为.故，

整理得，即，设，则上式即为，构造，则等价于，由于为增函数，为减函数，故为增函数，观察知，故等价于，与之对应的，综上符合条件的实数是存在的，即.