Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知，可求，，故方程为；（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为、，由得，由共线，得，又，则，代入可得结论．

试题解析：（1）由题意知：，

∵椭圆上的点满足，且，

∴，

∴．

∴

又∵，∴．

∴椭圆的方程为，

（2）由题意知，

①当直线与轴垂直时，，则的方程是：，

的方程是：，直线与直线的交点为，

∴点在直线上．

（2）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为、，

由得，

∴．

，共线，∴．

又，需证明共线，

需证明，只需证明，

若，显然成立，若，即证明

成立．

∴共线，即点总在直线上．