Question

【题目】已知,当点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动().

(Ⅰ)求和的表达式；

(Ⅱ)已知关于的方程有实根，求实数的取值范围；

(Ⅲ)设,函数的值域为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意，联立，从而可得解.由，得，从而可得，同理可求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，分离参数得，再由换元法求二次函数的最值，从而问题可得解；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可求得函数的解析式，并对函数的单调性进行判断，利用函数单调性求函数的最值，由题意，可建立关于的方程组，从而可得解.

试题解析：(Ⅰ)由得，

. …… 2分

由得，

. …… 4分

(Ⅱ)方程有实根，

分离得. …… 6分

设 …… 8分

(Ⅲ)，

下面证明在上是减函数

任取，则

即在上递减，故在在上递减 …… 10分

，即，解得，

故. …… 12分