Question

【题目】已知椭圆和抛物线有公共焦点， 的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）．

（1）若，求直线的方程；

（2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意设直线的方程为.设出点的坐标可求得 .则直线的方程为.

(2)由题意可得直线的斜率存在，设出直线方程，由对称性联立直线与抛物线的方程可得椭圆的长轴长的最小值为

试题解析：

解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为.

设直线的方程为.

令， ，其中. 由,得.

联立，可得,，解得,,

.

直线的方程为.

(2)设,直线， 点在抛物线上,

直线的斜率存在,

关于直线对称,所以.解得.

故代入抛物线，可得， .

直线的方程为或.

设椭圆为. 联立直线和椭圆,消去整理得

，解得.

则，即.椭圆的长轴长的最小值为