Question

【题目】已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3m，AD＝2m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.

（1）要使矩形AMPN的面积大于32m2，AN的长应在什么范围内？

（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM。

Answer 1

【答案】

（1）（2，）或（8，＋∞）

（2）当AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.

【解析】

试题分析：

（1）由题如图，可先设出所求的量；AM＝x，AN＝y（x>3，y>2），再由矩形的面积公式建立关系式，另由图可发现；△NDC∽△NAM，则可找到长与宽的关系式，从而建立关于AN＝y，的二次不等式，求解可得AN的取值范围；

（2）由题为建设后矩形面积的最小值，可由（1）得出的函数关系式，进行代数变形利用均值不等式（注意条件，正，定，相等）可求出相应的最小值。

试题解析：

（1）设AM＝x，AN＝y（x>3，y>2），矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.

∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，

∴S＝（y>2）．由>32，得2<y<，或y>8，

∴AN的长度应在（2，）或（8，＋∞）内．

（2）当y>2时，S＝＝3（y－2＋＋4）≥3×（4＋4）＝24，

当且仅当y－2＝，即y＝4时，等号成立，解得x＝6.

∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.