Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为平行四边形，其中，，，等边所在平面与平面垂直．

（Ⅰ）点在棱上，且，为的重心，求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）如图，在棱上取点，使得；连接并延长，交于点．

因为在中，，所以，

又四边形为平行四边形，所以，

所以． -----------------2分

在中，为重心，所以，

又，所以．

又，，

所以平面平面．

又平面，所以平面． ---------5分

（Ⅱ）在中，，，，

所以的面积．--7分

取的中点，连结、．

在中，，所以，且．

又因为平面平面，平面平面，

所以平面．--------------10分

故三棱锥的体积．-------12分

【命题意图】本题考查空间中线面平行的证明、几何体体积的求解，考查基本的空间想象能力和逻辑推理能力、运算能力等．