Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与轴交于点， ．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）经过两定点， .

【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为，所以．由点在椭圆上，得，进而解出得到椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆联立，解得的坐标（用表示），设出， 的方程，解出的坐标，圆方程用表示，最后可求得为直径的圆经过两定点.

试题解析：（Ⅰ） 设椭圆的方程为，

因为椭圆的左焦点为，所以．

因为点在椭圆上，所以．

由①②解得， ， ．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．

因为直线与椭圆交于两点， ，

设点（不妨设），则点．

联立方程组消去得．

所以，则．

所以直线的方程为．

因为直线， 分别与轴交于点， ，

令得，即点．

同理可得点．

所以．

设的中点为，则点的坐标为．

则以为直径的圆的方程为 ，

即．

令，得，即或．

故以为直径的圆经过两定点， ．