Question

【题目】已知函数f（x）= ，g（x）=ax﹣3．
（1）当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，求 实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）=）= ﹣x+3．

∵x∈（0，+∞）

则 = ＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上是单调增函数

（2）解：由题意：x∈[0，4]上函数f（x）= 的值域M=[3，5]，

设函数g（x）=ax﹣3的值域N．

∵x0∈[﹣2，2]，g（x）=ax﹣3．

当a=0时，g（x）=﹣3，即值域N={﹣3}，

∵MN，

∴不满足题意．

当a＞0时，函数g（x）在定义域内为增函数，其值域N=[﹣2a﹣3，2a﹣3]，

∵MN，

∴需满足 ，

解得：a≥4．

当a＜0时，函数g（x）在定义域内为减函数，其值域N=[2a﹣3，﹣2a﹣3]，

∵MN，

∴需满足

解得：a≤﹣4．

综上所得：对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，

实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）

【解析】（1）由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）=）= ﹣x+3．判断x在（0，+∞）上 与x的大小可得单调性．（2）求解x∈[0，4]上函数f（x）= 的值域M，x0∈[﹣2，2]上，对a讨论函数g（x）=ax﹣3的值域N，
根据MN，可得实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．