Question

【题目】已知椭圆，与轴的正半轴交于点，右焦点， 为坐标原点，且．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知点，过点任意作直线与椭圆交于两点，设直线的斜率，若，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）tan∠PFO=可得=，c=b，a==b即可得出（2）直线斜率不为0时，设出直线方程ty=x﹣1，设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立，化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，∵k1+k2=2，∴+=2，根据韦达定理代入求解即可，斜率为0 时也成立

试题解析：

（1）∵tan∠PFO=，∴=，∴c=b，a==b．

∴==．

（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．

联立，化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，

y1+y2=，y1y2=，

∵k1+k2=2，∴+=2，

化为：（y1﹣2）（ty2﹣2）+（y2﹣2）（ty1﹣2）=2（ty1﹣2）（ty2﹣2），

即：ty1y2=y1+y2，

∴t=，对t∈R都成立．

化为：b2=1，

直线l的斜率为0时也成立，

∴b2=1，

∴椭圆C的方程为．