Question

【题目】已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1 ， a3 ， a7成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{ }的前n项和，若Tn≤λan+1对n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）设公差为d，由已知得： ，

即 ，

解得：d=1或d=0（舍去），

∴a1=2，

故an=2+（n﹣1）=n+1；

（II）∵ = = ﹣ ，

∴Tn= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ = ，

∵Tn≤λan+1对n∈N*恒成立，即 ≤λ（n+2），λ≥ n∈N*恒成立，

又 = ≤ = ，

∴λ的最小值为

【解析】（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式，又a1，a3，a7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{an}的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列{an}的通项公式代入数列中，根据 = ﹣ ，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到Tn的通项公式，将求出的Tn的通项公式和an+1的通项公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数λ的最小值．
【考点精析】利用等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．