Question

【题目】已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，有，且f（1）=﹣2

（1）求f（0）及f（﹣1）的值；

（2）判断函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明；

（3）求解不等式f（2x）﹣f（x2+3x）＜4．

Answer 1

【答案】（1）0,2（2）减函数（3）（﹣2，1）．

【解析】试题分析：（1）令x=y=0求f（0）=0；再令x=-y=1得f（0）=f（1）+f（-1）；从而求解；（2）可判断函数f（x）是R上的减函数，利用定义证明；（3）由（2）知，f（2x）﹣f（x2+3x）＜4可化为f（2x-x2-3x）＜f（-2）；从而得x2+x-2＜0，从而解得

试题解析：（1）令x=y=0得，

f（0）=f（0）+f（0）；

故f（0）=0；

令x=﹣y=1得，

f（0）=f（1）+f（﹣1）；

故f（﹣1）=f（0）﹣f（1）=2； （3分）

（2）函数f（x）是R上的减函数，证明如下，

令x=﹣y得，f（0）=f（x）+f（﹣x）；

故f（x）=﹣f（﹣x）；

任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）

=f（x1﹣x2）=﹣f（x2﹣x1），

故由f（x2﹣x1）＜0知，﹣f（x2﹣x1）＞0，

从而得f（x1）﹣f（x2）＞0，

则函数f（x）是R上的减函数； （4分）

（3）由（2）知，

f（2x）﹣f（x2+3x）＜4可化为

f（2x﹣x2﹣3x）＜f（﹣2）；

故x2+x﹣2＜0，

解得，x∈（﹣2，1）． （5分）