Question

【题目】f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（ ）
A.（0， ）
B.（ ，1）
C.（1，e）
D.（e，3）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，
∴设f（x）﹣lnx=t，则f（t）=e+1，
即f（x）=lnx+t，
令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，
则t=e，
即f（x）=lnx+e，
函数的导数f′（x）= ，
则由f（x）﹣f′（x）=e得lnx+e﹣ =e，
即lnx﹣ =0，
设h（x）=lnx﹣ ，
则h（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，h（e）=lne﹣ =1﹣ ＞0，
∴函数h（x）在（1，e）上存在一个零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（1，e），
故选：C．
利用换元法求出函数f（x）的解析式，然后根据函数与方程的关系进行转化，构造函数，判断函数的零点即可得到结论．