Question

【题目】给出下列四个命题

①已知为椭圆上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则的周长是8；

②已知是双曲线上任意一点，是双曲线的右焦点，则；

③已知直线过抛物线的焦点，且与交于，，，两点，则；

④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，若静放在点的小球（小球的半径忽略不计）从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程恰好是．

其中正确命题的序号为__（请将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①求得椭圆中的， ，的周长为：，即可判断；

②求得双曲线中的，，，讨论在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；

③设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；

④可假设长轴在，短轴在轴，对球的运动方向沿轴向左直线运动，沿轴向右直线运动，以及球不沿轴运动，讨论即可.

①由椭圆方程，得，，因为椭圆上任意一点，由椭圆定义知，的周长为，故①错误；

②已知是双曲线上任意一点，且，，是双曲线的右焦点，若在双曲线左支上，则，若在双曲线右支上，则，故②正确；

③直线过抛物线的焦点，设其方程为，，，将直线代入抛物线的方程可得，由韦达定理可得，又，则，故③正确；

④假设长轴在，短轴在轴，设为左焦点，为左焦点，以下分为三种情况：

i．球从 沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程

是；

ii．球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程

是；

iii．球从不沿轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点，此时小球经过的路程是；

综上所述：从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到时，小球经过的路程是或或.故④错误.

故答案为：②③.