《2025年高考数学小题狂做巅峰篇》

1. (2025 广东深圳二调)已知函数 $ f(x)=ae^{x}-e^{-x} $ ( $ a $ 为常数), 则 (B)

A.$ \forall a \in \mathbf{R}, f(x) $ 为奇函数
B.$ \exists a \in \mathbf{R}, f(x) $ 为偶函数
C.$ \forall a \in \mathbf{R}, f(x) $ 为增函数
D.$ \exists a \in \mathbf{R}, f(x) $ 为减函数

答案： 1. B　对于A，要使$f(x)$为奇函数，由于$x\in\mathbf{R}$，故需$f(0)=a - 1 = 0$，即$a = 1$，当$a$不为1时，$f(x)$不为奇函数，故A错误；对于B，要使$f(x)$为偶函数，则$f(x)=f(-x)$恒成立，$ae^{-x}-e^{x}=ae^{x}-e^{-x}$，整理得$(a + 1)(e^{x}-e^{-x})=0$，由于$x\in\mathbf{R}$，故$a + 1 = 0$，即存在$a = -1$，使得$f(x)$为偶函数，故B正确；对于C,D，$f^\prime(x)=ae^{x}+e^{-x}=e^{-x}(ae^{2x}+1)$，①当$a\geq0$时，$f^\prime(x)＞0$，$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，②当$a＜0$时，令$f^\prime(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}\ln(-\frac{1}{a})$，则$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{2}\ln(-\frac{1}{a}))$上单调递减，在$(\frac{1}{2}\ln(-\frac{1}{a}),+\infty)$上单调递增，故C,D错误.

2. (2025 山东济南一模)已知函数 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l} e^{-x}-1, x \leqslant 0, \\ 1-e^{x}, x＞0,\end{array}\right. $ 则 $ f(2 x)+f(x-3)＞0 $ 的解集是 (A)

A.$ (-\infty, 1) $
B.$ (1,+\infty) $
C.$ (-\infty,-3) $
D.$ (-3,+\infty) $

答案：
2. A　解法1(定义法)　当$x＞0$时，$f(x)=1 - e^{x}$，$-x＜0$，$f(-x)=e^{-(-x)}-1=e^{x}-1=-f(x)$；当$x＜0$时，$f(x)=e^{-x}-1$，$-x＞0$，$f(-x)=1-e^{x}=-f(x)$，且当$x = 0$时，$f(x)=0$.所以$f(x)$为奇函数，易知$f(x)$为$\mathbf{R}$上的递减函数，则$f(2x)+f(x - 3)＞0$，即$f(2x)＞-f(x - 3)=f(3 - x)$，所以$2x＜3 - x$，解得$x＜1$，所以原不等式的解集为$(-\infty,1)$.
解法2(图象法)　作出函数$f(x)$的图象如图所示，其图象关于点$(0,0)$中心对称，所以$f(x)$为奇函数，且$f(x)$为$\mathbf{R}$上的减函数，则$f(2x)+f(x - 3)＞0$，即$f(2x)＞-f(x - 3)=f(3 - x)$，所以$2x＜3 - x$，解得$x＜1$，所以原不等式的解集为$(-\infty,1)$.

【解后反思】利用图象法研究分段函数的奇偶性和单调性，比较简捷，也符合小题小做的原则.

3. (2025 福建省质检)已知函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增, 函数 $ g(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数, 且 $ f(x)-g(x)=-x $, 则 $ g(x) $ 可以是x³+x(写出一个满足条件的函数即可).

答案： 3. $x^{3}+x$(答案不唯一)　【思路分析】由于函数$g(x)$具有奇偶性，可以将$-x$代替$x$，构造解析式，通过解方程求出$f(-x)=-f(x)$，得$f(x)$是$\mathbf{R}$上的增函数且是奇函数即可求解.
由$\begin{cases}f(x)-g(x)=-x\\f(-x)-g(-x)=x\end{cases}$可得$\begin{cases}f(x)-g(x)=-x\\f(-x)+g(x)=x\end{cases}$，所以$f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)$是$\mathbf{R}$上的增函数且是奇函数.构造$f(x)=x^{3}$，则$g(x)=f(x)+x=x^{3}+x$满足条件.
（只要写出的函数$g(x)$满足$g(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$g^\prime(x)\geq1$，$g^\prime(x)$不恒等于1即可）

4. (多选题, 2024 湖南新高考十八校联盟 3 月联考)设函数 $ f(x), g(x) $ 的定义域都为 $ \mathbf{R} $, 且 $ f(x) $ 是奇函数, $ g(x) $ 是偶函数, 则下列结论正确的是 (ACD)

A.$ f(x) g(x) $ 是奇函数
B.$ f(x)|g(x)| $ 是偶函数
C.若 $ g(x)-f(x)=x^{3}+x^{2}+1 $, 则 $ f(1)+g(1)=1 $
D.若函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递减且 $ f(1)=-1 $, 则满足 $ -1 \leqslant f(x-2) \leqslant 1 $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ [1,3] $

答案： 4. ACD　【思路分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A，B，根据奇偶性的性质即可判断C，根据函数的单调性即可判断D.
令$F(x)=f(x)g(x)$，则$F(-x)=f(-x)g(-x)$，定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，因为$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，所以$f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$，所以$F(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)$，所以$F(x)=f(x)g(x)$是奇函数，A正确.同样，令$G(x)=f(x)|g(x)|$，定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，则$G(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-G(x)$，所以$G(x)$是奇函数，B错误.对于C，
解法1(赋值法)　令$x = -1$，代入$g(x)-f(x)=x^{3}+x^{2}+1$，得$g(-1)-f(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}+1 = 1$，又$g(-1)=g(1)$，$f(-1)=-f(1)$，所以$g(1)+f(1)=1$，C正确.
解法2(方程组法求解析式)　由$g(x)-f(x)=x^{3}+x^{2}+1$ ①，将$x$用$-x$代换得$g(-x)-f(-x)=-x^{3}+x^{2}+1$ ②.因为$f(x)$为奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，因为$g(x)$是偶函数，所以$g(-x)=g(x)$，由①+②得$g(x)=x^{2}+1$，由①-②得，$f(x)=-x^{3}$，从而$g(1)=2$，$f(1)=-1$，所以$g(1)+f(1)=1$，C正确.对于D，因为$f(1)=-1$，所以$f(-1)=1$，要使$-1\leq f(x - 2)\leq1$成立，则需$f(1)\leq f(x - 2)\leq f(-1)$，由于$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递减，则$-1\leq x - 2\leq1$，所以$1\leq x\leq3$，D正确.
【解后反思】对于A和B，可以使用小结论：在同一定义域内，奇函数乘奇函数是偶函数；偶函数乘奇函数是奇函数；偶函数乘偶函数是偶函数.

5. (2024 湖北宜荆荆三模)若函数 $ f(x)=\ln \left(e^{2 x}-a\right)-x(x \in \mathbf{R}) $ 为偶函数, 则 $ a=$-1$$ .

答案： 5. -1　因为函数$f(x)=\ln(e^{2x}-a)-x$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$a\leq0$.又函数$f(x)$为偶函数，所以$f(-x)=f(x)$恒成立，即$\ln(e^{-2x}-a)+x=\ln(e^{2x}-a)-x$，则$\ln\frac{e^{2x}-a}{e^{-2x}-a}=2x$，所以$\frac{e^{2x}-a}{e^{-2x}-a}=e^{2x}$，整理得$(a + 1)(e^{2x}-1)=0$对任意的$x\in\mathbf{R}$恒成立，所以$a = -1$.

6. (2023 江苏南通等八市统考)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R}, y=f(x)+e^{x} $ 是偶函数, $ y=f(x)-3 e^{x} $ 是奇函数, 则 $ f(x) $ 的最小值为 (B)

A.$ e $
B.$ 2 \sqrt{2} $
C.$ 2 \sqrt{3} $
D.$ 2 e $

答案： 6. B　令$h(x)=f(x)+e^{x}$，由$h(x)$为偶函数得$h(-x)=h(x)$，从而$f(-x)+e^{-x}=f(x)+e^{x}$，即$f(-x)-f(x)=e^{x}-e^{-x}$.令$g(x)=f(x)-3e^{x}$，由$g(x)$为奇函数得$g(-x)=-g(x)$，从而$f(-x)-3e^{-x}=-f(x)+3e^{x}$，即$f(-x)+f(x)=3e^{x}+3e^{-x}$，所以$f(x)=e^{x}+2e^{-x}\geq2\sqrt{e^{x}·2e^{-x}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$x=\ln\sqrt{2}$时取等号.

7. (2025 湖北武汉九月调研)已知函数 $ f(x)=\frac{\tan \theta-\tan (x+\theta)}{1-2 \tan (x+\theta)} $ 是 $ \left[-\frac{\pi}{2024}, \frac{\pi}{2024}\right] $ 上的奇函数, 则 $ \tan \theta= $ (B)

A.2
B.$ -2 $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： 7. B　【审题指导】根据函数的奇偶性求函数中的参数的值常有两种方法，一是利用函数奇偶性的定义得到关于参数的恒等式，进而求得参数的值；二是利用函数奇偶性的定义，通过特殊化得到参数的方程，进而求得参数的值后再加以检验.但注意到本题中所给出的函数的定义域范围太小，取特殊值进行求解无法进行，为此，从定义入手，得到恒等式进行求解.
解法1(定义法)　$f(x)=\frac{\tan\theta-\tan(x+\theta)}{1 - 2\tan(x+\theta)}=\frac{\tan\theta-\frac{\tan x+\tan\theta}{1-\tan x\tan\theta}}{1 - 2·\frac{\tan x+\tan\theta}{1-\tan x\tan\theta}}=\frac{\tan\theta(1-\tan x\tan\theta)-(\tan x+\tan\theta)}{1-\tan x\tan\theta-2(\tan x+\tan\theta)}=\frac{-(\tan^{2}\theta + 1)·\tan x}{1 - 2\tan\theta-(\tan\theta + 2)·\tan x}$
因为$f(x)$是$\left[-\frac{\pi}{2024},\frac{\pi}{2024}\right]$上的奇函数，又$y = -(\tan^{2}\theta + 1)·\tan x$为奇函数，所以$y = 1 - 2\tan\theta-(\tan\theta + 2)·\tan x$需为偶函数，所以$\tan\theta + 2 = 0$，则$\tan\theta=-2$.
解法2(观察法)　$f(x)=\frac{\tan\theta-\tan(x+\theta)}{1 - 2\tan(x+\theta)}$，结合两角差的正切公式，当$\tan\theta=-2$时，$f(x)=\tan[\theta-(x+\theta)]=-\tan x$，为奇函数，所以$\tan\theta=-2$.

8. (2024 云南昆明三模)函数 $ y=f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上的图象是一条连续不断的曲线, 且与 $ x $ 轴有且仅有一个交点, 对任意 $ x, y \in \mathbf{R}, f(x)+f(y)=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right), f(1)=1 $, 则下列说法正确的是 (D)

A.$ f(2)=2 $
B.$ f(x) $ 为奇函数
C.$ f(x) $ 在 $ (0,+\infty) $ 上单调递减
D.若 $ f(x) \leqslant 4 $, 则 $ x \in[-2,2] $

答案： 8. D　解法1(赋值法)　对于选项A，令$x = y = 1$，则$f(1)+f(1)=f(\sqrt{2})=2$，所以$f(\sqrt{2})+f(\sqrt{2})=f(2)=4$，故A错误；对于选项B，令$x = y = -1$，则$f(-1)+f(-1)=f(\sqrt{2})=2$，所以$f(-1)=1$，所以$f(x)$不是奇函数，故B错误；对于选项C，因为$f(1)＞0$，$f(2)=4$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上不是单调递减的，故C错误；对于选项D，
【思路分析】要解不等式，需明确函数$f(x)$的单调性和奇偶性，为此先赋值，再通过定义法判断函数的性质.
令$x = y = 0$，则$f(0)+f(0)=f(0)$，所以$f(0)=0$，令$y = 0$，则$f(x)=f(|x|)$，故$f(x)$为偶函数，又$y = f(x)$在$\mathbf{R}$上的图象是一条连续不断的曲线，且与$x$轴有且仅有一个交点，所以该交点为$(0,0)$，又$f(1)＞0$，所以$x＞0$时，$f(x)＞0$，设$0＜x_{1}＜x_{2}$，令$x = x_{1}$，$y=\sqrt{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}$，则$f(x_{1})+f(\sqrt{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}})=f(x_{2})$，所以$f(x_{1})-f(x_{2})=-f(\sqrt{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，由$f(x)\leq4$可得$f(|x|)\leq f(2)$，则$|x|\leq2$，解得$-2\leq x\leq2$，故D正确.
解法2(构造函数法)　【思路分析】可以根据所给条件中函数的运算性质，构造满足条件的函数.
对任意$x,y\in\mathbf{R}$，$f(x)+f(y)=f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$，$y = f(x)$在$\mathbf{R}$上的图象是一条连续不断的曲线，且与$x$轴有且仅有一个交点，可以设$f(x)=kx^{2}$，又$f(1)=1$，所以$k = 1$，则$f(x)=x^{2}$，易得A,B,C错误，由$x^{2}\leq4$可得$x\in[-2,2]$，故D正确.
【解后反思】求解抽象函数有关问题，通常运用赋值法求解，也可以根据所学函数的性质找出相关的函数模型来帮助解题.

1. (2024 安徽芜湖三模)已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(x + 4) = f(x)$，当$2 ＜ x ＜ 4$时，$f(x) = 2^{x - 2}$，则$f(1)=$(C)

A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$

答案： 1. C 因为$f(x + 4) = f(x)$，所以$f(x)$是周期函数，且周期为4，又$f(x)$是偶函数，所以$f(1)=f(-1)=f(3)=2^{3 - 2}=2$。