《2025年点对点期末复习及智胜暑假七年级数学北师大版》

1. 幂的运算法则：
(1) ① $ a ^ { m } \cdot a ^ { n } = $$a^{m+n}$；
② $ ( a ^ { m } ) ^ { n } = $$a^{mn}$；
③ $ ( a b ) ^ { n } = $$a^{n}b^{n}$；
④ $ a ^ { m } ÷ a ^ { n } = $$a^{m - n}$($ a \neq 0 $,$ a $,$ n $均为正整数)；
(2) 特别规定：① $ a ^ { 0 } = $$1$($ a \neq 0 $)；
② $ a ^ { - p } = $$\frac{1}{a^{p}}$($ a \neq 0 $,$ p $是正整数)；
(3) 用科学记数法表示绝对值较小的数：将绝对值小于 $ 1 $ 的数用科学记数法表示成 $ a × 10 ^ { n } $ 的形式,其中 $ 1 \leq | a | ＜ 10 $,$ n $ 为整数。当原数的绝对值小于 $ 1 $ 时,$ n $ 是负整数,$ n $ 的绝对值等于原数第一个非零数字前面 $ 0 $ 的个数。

答案：
(1)①$a^{m+n}$；②$a^{mn}$；③$a^{n}b^{n}$；④$a^{m - n}$；
(2)①$1$；②$\frac{1}{a^{p}}$

2. 整式的乘法：
(1) 单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式；
(2) 单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加；
(3) 多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。

答案：
(1)分别相乘；
(2)积；
(3)每一项 每一项 相加

3. 乘法公式：
(1) 平方差公式：$ ( a + b ) ( a - b ) = $$a^{2}-b^{2}$；
(2) 完全平方公式：$ ( a \pm b ) ^ { 2 } = $$a^{2}\pm2ab + b^{2}$。

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}$；
(2)$a^{2}\pm2ab + b^{2}$

4. 整式的除法：
(1) 单项式除以单项式,系数相除,同底数幂相除,只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式；
(2) 多项式除以单项式,就是用多项式的每一个项分别除以单项式,再把所得的商相加。

答案：
(1)相除 相除；
(2)商

三、专题导练
专题一：幂的运算法则
例 1 已知 $ 10 ^ { m } = 2 $,$ 10 ^ { n } = 3 $,则 $ 10 ^ { 2 m + 3 n - 1 } = $10.8。

答案： 【解析】：已知$10^m = 2$，$10^n = 3$，根据幂的运算法则，将$10^{2m + 3n - 1}$变形为$(10^m)^2×(10^n)^3÷10$。代入数值可得：$2^2×3^3÷10 = 4×27÷10 = 108÷10 = 10.8$。
【答案】：10.8

1. (1) 计算：$ ( \pi - 3 ) ^ { 0 } + ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { - 1 } = $3；
(2) 计算：$ ( - \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 2023 } \cdot ( - \frac { 3 } { 2 } ) ^ { 2024 } = $$-\frac{3}{2}$；
(3) 若 $ ( 2 ^ { x } ) ^ { 2 } = 2 ^ { 3 x + 1 } $,则 $ x $ 的值为$-1$。

答案：
(1)解：$(π-3)^0+(\frac{1}{2})^{-1}=1+2=3$
(2)解：$(-\frac{2}{3})^{2023}\cdot(-\frac{3}{2})^{2024}=(-\frac{2}{3})^{2023}\cdot(-\frac{3}{2})^{2023}\cdot(-\frac{3}{2})=[(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{3}{2})]^{2023}\cdot(-\frac{3}{2})=1^{2023}\cdot(-\frac{3}{2})=-\frac{3}{2}$
(3)解：$(2^x)^2=2^{3x+1}$
$2^{2x}=2^{3x+1}$
$2x=3x+1$
$x=-1$

2. 已知 $ 2 ^ { a } = 18 $,$ 2 ^ { b } = 3 $,则 $ 2 ^ { a - 2 b + 1 } $ 的值为4。

答案： 解：因为$2^{b}=3$，所以$2^{2b}=(2^{b})^{2}=3^{2}=9$。
又因为$2^{a}=18$，所以$2^{a - 2b + 1}=2^{a}÷2^{2b}×2^{1}=18÷9×2=2×2=4$。
4