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1. 如图,在 $4 × 4$ 的正方形网格中,每个小正方形的边长是 1,小正方形的顶点称为格点.现有格点 $A,B$,在网格中任意找一点 $C$ (必须是格点),使 $\triangle ABC$ 成为等腰三角形.这样的格点有
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个.
答案：
8
2. 如图,在直角三角形纸片 $ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ},AC \leq BC$,将纸片沿某条直线折叠,使点 $A$ 落在直角边 $BC$ 上,记落点为 $D$,设折痕与 $AB,AC$ 边分别交于点 $E,F$.
(1)若 $\angle AFE = 65^{\circ}$,求 $\angle CDF$ 的度数;
(2)若折叠后的 $\triangle CDF$ 为等腰三角形,连接 $AD$,求 $\angle ADC$ 的度数;
(3)在(2)的条件下,若 $\triangle BDE$ 也为等腰三角形,求纸片中 $\angle B$ 的度数.
(1)若 $\angle AFE = 65^{\circ}$,求 $\angle CDF$ 的度数;
(2)若折叠后的 $\triangle CDF$ 为等腰三角形,连接 $AD$,求 $\angle ADC$ 的度数;
(3)在(2)的条件下,若 $\triangle BDE$ 也为等腰三角形,求纸片中 $\angle B$ 的度数.
答案：
解:
(1)
∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上,
∴∠AFE=∠DFE=65°,
∴∠CFD=180°−65°−65°=50°.
∵∠C=90°,
∴∠CDF=90°−50°=40°.
(2)如答图.
∵△CDF为等腰三角形,∠FCD=90°,
∴∠CFD=∠CDF=45°.
∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，
∴AF=DF,AE=DE,
∴∠FAD=∠FDA.
∵∠CFD=∠FAD+∠FDA,
∴∠FDA=22.5°,
∴∠ADC=67.5°.
(3)
∵∠ADC=∠B+∠DAB,
∴∠DAB=67.5°−∠B.
∵AE=DE,
∴∠DAB=∠ADE=67.5°−∠B,
∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°−2∠B,
若∠DEB=∠B,则135°−2∠B=∠B,
∴∠B=45°.
若∠DEB=∠EDB,则∠DEB=∠EDB=135°−2∠B.
∵∠DEB+∠EDB+∠B=180°,
∴135°−2∠B+135°−2∠B+∠B=180°,
∴∠B=30°.若∠EDB=∠B,则∠DEB+∠B+∠EDB=135°−2∠B+∠B+∠B=135°≠180°(不合题意,舍去).
综上所述，纸片中∠B的度数为30°或45°.
解:
(1)
∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上,
∴∠AFE=∠DFE=65°,
∴∠CFD=180°−65°−65°=50°.
∵∠C=90°,
∴∠CDF=90°−50°=40°.
(2)如答图.
∵△CDF为等腰三角形,∠FCD=90°,
∴∠CFD=∠CDF=45°.
∵将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，
∴AF=DF,AE=DE,
∴∠FAD=∠FDA.
∵∠CFD=∠FAD+∠FDA,
∴∠FDA=22.5°,
∴∠ADC=67.5°.
(3)
∵∠ADC=∠B+∠DAB,
∴∠DAB=67.5°−∠B.
∵AE=DE,
∴∠DAB=∠ADE=67.5°−∠B,
∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°−2∠B,
若∠DEB=∠B,则135°−2∠B=∠B,
∴∠B=45°.
若∠DEB=∠EDB,则∠DEB=∠EDB=135°−2∠B.
∵∠DEB+∠EDB+∠B=180°,
∴135°−2∠B+135°−2∠B+∠B=180°,
∴∠B=30°.若∠EDB=∠B,则∠DEB+∠B+∠EDB=135°−2∠B+∠B+∠B=135°≠180°(不合题意,舍去).
综上所述，纸片中∠B的度数为30°或45°.
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