Question

【题目】已知:等边三角形△ABC内接于⊙O，点D在 上，连接AD、CD、BD，

（1）如图1，求证：∠ADB=∠BDC=60°；
（2）如图2，若BD=3CD，求证：AE=2CE；
（3）在（2）的条件下，连接OE，若BE=14，求线段OE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.（3）

【解析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等，推出∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ACB=60°即可解决问题．

（2）如图2中，在BD上截取DH=DC，作EN⊥AD，EM⊥CD垂足分别为N、M．由△ACD≌△BCH推出BD=DA+DC，结合条件推出AD=2DC，再根据，即可证明．

（3）如图3中，连接AO，由此AO交BC于M，连接OE，作EN⊥BC于N，设OE=x．用x表示BN、EN，在Rt△EBN中，利用勾股定理列出方程即可．

（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵∠BDC=∠BAC，∠ADC=∠ACB，

∴∠ADB=∠BDC=60°．

（2）如图2中，在BD上截取DH=DC，作EN⊥AD，EM⊥CD垂足分别为N、M．

∵∠HDC=60°，DH=DC，

∴△DHC是等边三角形，

∴HC=DC，∠CHD=60°，

∴∠BCA=∠HCD=60°，

∴∠BCH=∠ACD，

在△BCH和△ACD中，

，

∴△ACD≌△BCH，

∴BH=AD，

∴BD=BH+HD=AD+CD．

∵BD=3CD，

∴3CD=AD+CD，

∴AD=2CD，

∵∠ADB=∠BDC，EN⊥DA，EM⊥DC，

∴EN=EM，

∵，

∴AE=2CE．

（3）如图3中，连接AO，由此AO交BC于M，连接OE，作EN⊥BC于N，设OE=x．

∵O是等边三角形的外心，

∴OA=2OM，∵AE=2EC，

∴，

∴OE∥CM，

∵AM⊥BC，

∴AO⊥OE，

∵∠OAE=∠BAC=30°，

∴AE=2x，EC=x，CN=x，BN=x，EN=x

在Rt△BNE中，∵BE2=BN2+EN2，

∴142=（x）2+（x）2，

∴x2=28，

∵x＞0，

∴x=2．

∴OE=2．