Question

【题目】P是三角形ABC内一点，射线PD∥AC，射线PE∥AB．

（1）当点D，E分别在AB，BC上时，

①补全图1；

②猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明；

（2）当点D，E都在线段BC上时，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①补全图形，如图所示．见解析；②∠DPE+∠A＝180°，证明见解析；（2）不成立，此时∠DPE＝∠A．理由见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质，即可得到∠A＝∠BDP，∠DPE+∠BDP＝180°，即可得到∠DPE与∠A的数量关系．

（2）先反向延长射线PD交AB于点D1，可知∠DPE+∠D1PE＝180°，由（1）结论可知∠D1PE+∠A＝180°，进而得出∠DPE＝∠A．

（1）①补全图形，如图1所示．

②∠DPE+∠A＝180°．

证明：∵PD∥AC，

∴∠A＝∠BDP．

∵PE∥AB，

∴∠DPE+∠BDP＝180°，

∴∠DPE+∠A＝180°．

（2）不成立，此时∠DPE＝∠A．

理由如下：如图2，反向延长射线PD交AB于点D1，可知∠DPE+∠D1PE＝180°．

由（1）结论可知∠D1PE+∠A＝180°．

∴∠DPE＝∠A．