Question

【题目】已知点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上.

(1)若b=1,c=3,求n的值;

(2)若此抛物线经过点B(4,n),且二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,请画出点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)5;(2)作图见解析.

【解析】试题分析：（1）代入，以及点的坐标即可求得的值；
（2）根据题意求得抛物线的解析式为从而求得点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x'2-4,然后利用5点式画出函数的图象即可．

试题解析：

(1) b=1,c=3,∴y=x2+x+3.

点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上,

n=4-2+3=5.

(2)解法一: A(-2,n),B(4,n)在抛物线y=x2+bx+c上,

∴b=-2.

顶点横坐标是-=1,

故顶点为(1,-4).

-4=1-2+c,

c=-3,

P(x-1,x2-2x-3).

将点(x,x2-2x-3)向左平移一个单位得点P(x-1,x2-2x-3), 将点(x,x2-2x-3)的纵坐标随横坐标变化的函数的图象向左平移一个单位后可得点P(x-1,x2-2x-3)的纵坐标随横坐标变化的函数图象.设p=x-1,q=x2-2x-3,则q=p2-4.其函数图象如下:

解法二:由抛物线的对称性,可知A(-2,n)与B(4,n)关于对称轴对称,则对称轴为直线x=-=1,∴b=-2.

又y=x2+bx+c的最小值是-4,

=-4,b2-4c=16,

c=-3. y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故P(x-1,x2-2x-3).令x-1=x',则P(x-1,x2-2x-3)的纵坐标随横坐标变化的函数关系式为y=x'2-4,其纵坐标随横坐标变化的图象如下: