Question

【题目】在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,

（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;

（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;

（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论；

（2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论；

（3）先求得BE=FC，然后证得△DBE≌△EFC即可.

（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，

∵AE=EB=BD，

∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，

∴∠EDB=∠ECB，

∴EC=ED；

（2）如图2，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，

∴△AEF为等边三角形；

（3）EC=ED；

理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，

∴∠EFC=∠DBE=120°，

∵AB=AC，AE=AF，

∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴ED=EC．