Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．

（2）作OE⊥AC于点E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．

（1）证明：连接OB，如图．

∵OA=OB，∠OAB=45°，

∴∠1=∠OAB=45°．

∵AO∥DB，

∴∠2=∠OAB=45°．

∴∠1+∠2=90°．

∴BD⊥OB于B．

∴又点B在⊙O上．

∴BD是⊙O的切线．

（2）解：作OE⊥AC于点E．

∵OE⊥AC，AC=，

∴AE==．

∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，

∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．

∴在Rt△OAE中，

解法二：如图

延长AO与⊙O交于点F，连接FC．

∴∠ACF=90°．

在Rt△ACF中，．

∴AO==4．