Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．
（1）求证：∠ECB=∠EBC；
（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB= ，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切线，∵EC是⊙O的切线，

∴EC=EB，

∴∠ECB=∠EBC

（2）解：连接CF、CO、AC．

∵EB=EC，OC=OB，

∴EO⊥BC，

∴∠CHF=∠CHO=90°，

在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH= ，

∴FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，

设OC=OF=x，

在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，

∴x2=（ ）2+（x﹣ ）2，

∴x=5，

∴OH= ，

∵OH⊥BC，

∴CH=HB，∵OA=OB，

∴AC=2OH= ．

【解析】（1）只要证明EB是⊙O的切线，利用切线长定理可知EC=EB，即可解决问题．（2）连接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH= ，推出FH=CFsin∠FCH= ，CH= = ，设OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2 ， 可得x2=（ ）2+（x﹣ ）2 ， 解得x=5，推出OH= ，再利用三角形中位线定理证明AC=2OH即可解决问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)，还要掌握解直角三角形(解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法))的相关知识才是答题的关键．