Question

【题目】长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

⑴求a、b的值；

⑵若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

⑶如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a=3，b=1；（2）t=10秒或85秒；（3）不变，2∠BAC=3∠BCD．

【解析】试题分析：（1）根据|a-3b|+（a+b-4）2=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，进而得出a、b的值；（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．

试题解析：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0，

∴a﹣3b=0，且a+b﹣4=0， ∴a=3，b=1；

（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，

①，在灯A射线转到AN之前，

3t=（20+t）×1，

解得t=10；

②，在灯A射线转到AN之后，

3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，

解得t=85，

综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°﹣3t，

∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，

又∵PQ∥MN，

∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，

而∠ACD=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，

∴∠BAC：∠BCD=3：2，

即2∠BAC=3∠BCD．