Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)当时，求tanE；

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】（1）要证明△ABD∽△AEB，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可．

（2）由于AB：BC=4：3，可设AB=4，BC=3，求出AC的值，再利用（1）中结论可得AB2=ADAE，进而求出AE的值，所以tanE=．

解：（1）∵∠ABC=90°，

∴∠ABD=90°﹣∠DBC，

由题意知：DE是直径，

∴∠DBE=90°，

∴∠E=90°﹣∠BDE，

∵BC=CD，

∴∠DBC=∠BDE，

∴∠ABD=∠E，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△AEB；

（2）∵AB：BC=4：3，

∴设AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵BC=CD=3，

∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，

由（1）可知：△ABD∽△AEB，

∴，

∴AB2=ADAE，

∴42=2AE，

∴AE=8，

在Rt△DBE中

tanE=．

“点睛“此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.