Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）在“平行四边形、矩形、菱形，正方形”中， 一定是等角线四边形（填写图形名称）；

（2）若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还要满足 时，四边形MNPQ是正方形；

（3）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）矩形和正方形；（2）AC⊥BD；（3）3+2．

【解析】

（1）只有矩形和正方形的对角线相等，所以矩形和正方形是等角线四边形；

（2）当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；

（3）如图2中，作DE⊥AB于E．根据S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC计算，求出相关线段即可.

（1）在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，

∵矩形和正方形的对角线相等，

∴矩形和正方形一定是等角线四边形，

故答案为矩形和正方形．

（2）当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形．

理由：如图中，

∵M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，

∴PQ=MN=AC，PN=QM=BD，PQ∥AC，MQ∥BD，

∵AC=BD，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四边形MNPQ是菱形，

∵∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=90°，

∴∠3=90°，

∴四边形NMPQ是正方形．

故答案为AC⊥BD．

（3）如图2中，作DE⊥AB于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∵AD=BD，DE⊥AB，

∴AE=BE=2，

∵四边形ABCD是等角线四边形，

∴BD=AC=AD=5，

在Rt△BDE中，DE==，

∴S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC

=AEDE+（DE+BC）BE

=×2×+（+3）×2

=3+2．

故答案为3+2．