Question

【题目】如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

Answer 1

【答案】
（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

x×1+12=2x，

解得：x=12

（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，

∵三角形△AMN是等边三角形，

∴t=12﹣2t，

解得t=4，

∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN

（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等边三角形，

∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵ ，

∴△ACM≌△ABN，

∴CM=BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，

y﹣12=36﹣2y，

解得：y=16．故假设成立．

∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．

【解析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．