Question

【题目】如图，矩形ABCD的边BC与x轴重合，连接对角线BD交y轴于点E，过点A作AG⊥BD于点G，直线GF交AD于点F，AB、OC的长分别是一元二次方程x-5x+6=0的两根（AB＞OC），且tan∠ADB=.

（1）求点E、点G的坐标；

（2）直线GF分△AGD为△AGF与△DGF两个三角形，且S△AGF：S△DGF =3:1，求直线GF的解析式；

（3）点P在y轴上，在坐标平面内是否存在一点Q，使以点B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）E（0， ），G（， ）；（2）；（3）存在Q1（-4， ）；Q2（4， ）；Q3（0,4）；Q4（0，-1）.

【解析】（1）根据一元二次方程x-5x+6=0的解、tan∠ADB=，可求出点E的坐标；由△BGH∽△BDC，利用相似三角形的性质可求出点G的坐标；

（2）根据G、F的坐标，利用待定系数法可求出直线GF的解析式；

（3）对BD是矩形的边还是矩形的对角线进行分类讨论即可.

解：（1）x-5x+6=0，解得x1=2；x2=3

∵AB＞OC，

∴AB=3；OC=2

∵tan∠ADB=，

∴AD=BC=4；BD=5

∴OE=，∴E（0， ）

∵AG⊥BD，则△ABG∽△ABD，

，即，BG=，

做GH⊥x轴，由△BGH∽△BDC，

∴G（， ）

（2）∵S△AGF：S△DGF =3:1，

∴AF：DF=3:1，

∴DF=1 F（1,3）

设直线GF： ，

代入G（， ），F（1,3）

∴直线GF的解析式为：

（3）存在Q1（-4， ）；Q2（4， ）；Q3（0,4）；Q4（0，-1）