Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点在M在QO上，MC垂直平分OA，点N为直线AB上一动点（N不与A重合），若△MNP∽△MAC，PC与直线AB所夹锐角为α．

（1）若AM=AC，点N与点O重合，则α= °；

（2）若点C、点N的位置如图所示，求α的度数；

（3）当直线PC与⊙O相切时，则MC的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）30（2）30°（3）

【解析】

试题分析：（1）根据AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可求得△MAO的形状，然后根据点C在圆上，AP是圆O的直径，从而可以求得α的值；

（2）根据AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA，可求得△MAO的形状，△MNP∽△MAC，从而可以求得∠AMC和α的值；

（3）根据题意和图形，以及（2）中的α的值，直线PC与圆O相切，可以分别求得MD、DC的长，从而可以求得MC的长.

试题解析：（1）如图 ，α= 30 °；

如图一所示：

∵AM=AC，MC垂直平分AO，OM=OA

∴MA=AC=MO=OA

∵点M在圆上

∴点C在圆上

∵AP是圆O的直径

∴∠ACP=90°

∵AP=2AC

∴∠APC=30°

即α=30°

（2）连接MO，

∵MC垂直平分AO，∴MA=MO=AO

∴∠AMO=60°，则∠AMC=30°

∵△MAQ∽△MNP，

∴，，

∴∠AMN=∠QMP，

∴△AMN∽△QMP，

∴∠MAN=∠MQP，

∴α=∠AMQ=30°；

（3）连接OE，如图三所示

∵AB=2，MC垂直平分AO

∴AO=1，DO=，MD=

由（2）可得α=30°

∵OE=1，∠OEF=90°

∴OF=2OE=2

∴DF=

∴DC=DF·tanα=

∴MC=MD+DC=