Question

【题目】问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．

（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC=85°，请你补全她的推理依据．

如图2，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥CD． （　 　）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°． （　 　）

∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，

∴∠APE=40°，∠CPE=45°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（　 　）

问题迁移：

（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD=∠α﹣∠β．

【解析】(1) 过点P作PE∥AB，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°；进一步可求得结果.（2）过P作PE∥AD交CD于E，则AD∥PE∥BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，因此，∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）类似（2）的方法，分两种情况，即：P在BA延长线时或在AB延长线时.可得出结论..

解：（1）过点P作PE∥AB，

如图2所示：

∵AB∥CD，

∴PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（两直线平行同旁内角互补）

∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，

∴∠APE=40°，∠CPE=45°,

∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（等量代换）

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；

（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）当P在BA延长线时，如图4所示：

过P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β﹣∠α；

当P在AB延长线时，如图5所示：

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α﹣∠β．