Question

【题目】(2016四川省乐山市第23题)如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．

（1）求CD边的长；

（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q （点Q运动到点B停止），设DP=x，四边形PQCD的面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）．

【解析】

试题分析：（1）分别延长AD、BC相交于点E，在Rt△ABE中，解直角三角形可得BE，EC，AE的长，又∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，得到∠A=∠ECD，由tanA=，得到cosA= cos∠ECD =，从而得到CD的长；

（2）由（1）可知tan∠ECD=，得到ED=，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，得到PQ=，由，得到y=，而当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，故可得自变量x的取值范围．

试题解析：（1）如图1，分别延长AD、BC相交于点E，在Rt△ABE中，∵tanA=，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5，又∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，∵tanA=，∴cosA=，∴cos∠ECD=，∴CD=；

（2）由（1）可知tan∠ECD=，∴ED=，如图2，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，∴，∴，即PQ=，∵，∴，即=，∴当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自变量x的取值范围为：．