Question

【题目】如果，矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，且CH=AG，CF=AE．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）若AB=8，AD=4，且GH恰好平分∠FGE，求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠FCH=∠EAG，

在△AGE和△CHF中

∴△AGE≌△CHF（SAS）；

（2）解：连接AF，

∵GH平分∠FGE，

∴∠FGH=∠EGH，

∵FH∥GE，

∴∠EGH=∠FHG，

∴∠FGH=∠FHG，

∴FG=FH，∠FGA=∠FHC，

在△FGA和△FHC中

∴△FGA≌△FHC（SAS），

∴FC=FA，

设FC=x，则FA=x，FD=8﹣x，

在Rt△ADF中，x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

即CF的长为5．

【解析】（1）根据矩形的性质得出AB∥CD，求出∠FCH=∠EAG，根据SAS推出全等即可；（2）连接AF，求出△FGA≌△FHC，根据全等三角形的性质得出FC=FA，设FC=x，则FA=x，FD=8﹣x，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)．