[题目]如图.抛物线y＝ax2+bx(a＞0)过点E(8.0).矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧).点C.D在抛物线上.∠BAD的平分线AM交BC于点M.点N是CD的中点.已知OA＝2.且OA:AD＝1:3.(1)求抛物线的解析式,(2)F.G分别为x轴.y轴上的动点.顺次连接M.N.G.F构成四边形MNGF.求四边形MNGF周长的最小值,(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P 题目和参考答案 ——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；

（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

参考答案：

【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）四边形MNGF周长最小值为12；（3）存在点P，P坐标为（6，﹣6）；（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.

【解析】

（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案；（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积.又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把△ODP拆分为△OPQ与△DPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t，用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件；（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值.