Question

【题目】如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=-x2+x，（2）或或m=．

【解析】

试题分析：（1）先确定出点C，D的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，

（2）根据题意设出点M的坐标，表示出点N坐标，以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形只要AC=MN，用它建立方程求出m即可．

试题解析：（1）∵过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点，

∴点C（1，3），D（3，1），

∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点，

∴c=0，a+b=3，9a+3b=1．

∴a=-，b=，c=0，

∴抛物线解析式为y=-x2+x，

（2）∵A（1，0），C（3.0），

∴AC=3，

∵AC⊥x轴，MN⊥x轴，

∴AC∥MN，

∵以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，

∴AC=MN，

∵点D坐标为（3，1），

∴直线OD解析式为y=x，

∵点M为直线OD上的一个动点，

∴设M（m，m），

∴N（m，-m2+m），

∴MN=|-m2+m-m|=|4m2-12m|，

∵AC=MN，

∴|4m2-12m|=3，

∴|4m2-12m|=9，

①当4m2-12m＞0时，即m＜0，或m＞4，

∴4m2-12m=9，

∴m=，

∴点M的横坐标为或，

②当4m2-12m＜0时，即0＜m＜4，

∴4m2-12m=-9，

∴m=，

即：存在符合条件的点M，求此时点M的横坐标为或或m=．