Question

【题目】△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.

（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形,并说明理由；

Answer 1

【答案】(1)6.5；(2)点O运动到AC的中点，理由见解析.

【解析】

(1)根据角平分线和平行线性质得到∠FCE=90°，OE=OC=OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=EF，根据勾股定理求出EF，即可求出AC；

(2)由(1)得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则有EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形．

解：(1)∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，

∴∠OCE=∠ECB，∠OCF=∠FCD，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD，

∴∠OEC=∠OCE，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF，

∵∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴∠OEC+∠OFC=∠OCE+∠OCF=90°.

∵CE=12，CF=5，

∴EF==13，

∴OC=EF=6.5；

(2)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.

理由：当O为AC的中点时，AO=CO.

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形.

∵∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形.

故答案为：(1)6.5；(2)点O运动到AC的中点，理由见解析.