Question

【题目】已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证： ；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=9，DA=DC=12，∠BAD=90°，DE⊥CF．求出的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠B+∠EGC=180°,证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；

（2）当∠B+∠EGC=180°时， 成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案；

（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x-6）2+（x）2=62，求出CN=，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠FDC=90°，

∵CF⊥DE，

∴∠DGF=90°，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，

∴∠CFD=∠AED，

∵∠A=∠CDF，

∴△AED∽△DFC，

∴；

（2）当∠B+∠EGC=180°时， 成立．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC，AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，

∵∠B+∠EGC=180°，

∴∠A=∠EGC=∠FGD，

∵∠FDG=∠EDA，

∴△DFG∽△DEA，

∴，

∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，

∴∠CGD=∠CDF，

∵∠GCD=∠DCF，

∴△CGD∽△CDF，

∴，

∴，

∴，

即当∠B+∠EGC=180°时， 成立．

（3）．

理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，

∴∠A=∠M=∠CNA=90°，

∴四边形AMCN是矩形，

∴AM=CN，AN=CM，

∵在△BAD和△BCD中

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠MBC=∠ADC，

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴，

∴，

∴CM=x，

在Rt△CMB中，CM=x，BM=AM-AB=x-9，

由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，

∴（x-6）2+（x）2=62，

x=0（舍去），x=，

CN=，

∵∠A=∠FGD=90°，

∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，

∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF=90°，

∴△AED∽△NFC，

∴．