Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足 ，过C作CB⊥x轴于B．

（1）求△ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵（a+2）2+ =0，

∴a=2=0，b﹣2=0，

∴a=﹣2，b=2，

∵CB⊥AB

∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），

∴△ABC的面积= ×2×4=4

（2）

解：∵CB∥y轴，BD∥AC，

∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，

过E作EF∥AC，如图①，

∵BD∥AC，

∴BD∥AC∥EF，

∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3= ∠CAB=∠1，∠4= ∠ODB=∠2，

∴∠AED=∠1+∠2= （∠CAB+∠ODB）=45°

（3）

解：①当P在y轴正半轴上时，如图②，

设P（0，t），

过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，

∵S△APC=S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4，

∴ ﹣t﹣（t﹣2）=4，解得t=3，

②当P在y轴负半轴上时，如图③

∵S△APC=S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4

∴ +t﹣（2﹣t）=4，解得t=﹣1，

∴P（0，﹣1）或（0，3）

【解析】（1）根据非负数的性质易得a=﹣2，b=2，然后根据三角形面积公式计算；（2）过E作EF∥AC，根据平行线性质得BD∥AC∥EF，且∠3= ∠CAB=∠1，∠4= ∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2= （∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入计算即可；（3）分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，利用S△APC=S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP=4可得到关于t的方程，再解方程求出t；
当P在y轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t．
【考点精析】掌握平行线的判定与性质和三角形的面积是解答本题的根本，需要知道由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；三角形的面积=1/2×底×高．