Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线图像过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1），对称轴：直线，B(-1,0)（2）D点坐标是（0，－）

【解析】

试题分析：（1）求出点A和点C的坐标，然后代入，求出k的值可得函数解析式；然后可求出对称轴以及B点坐标；（2）分△CAD∽△ABC和△CDA∽△ABC两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求出CD的长，然后可求出点D的坐标.

试题解析：（1）∵直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C

∴得：A(-4，0), C(0，4)

∵抛物线图像过点A和点C，

代入点A或点C坐标得：k=5

∴

对称轴：直线

令y=0，得

解方程得 ∴B(-1,0)

（2）AC＝4，AB＝3．

根据题意, AO=CO=4，∴∠CAB＝∠ACD= 45°

当△CAD∽△ABC时，CD︰AC＝CA︰AB，

即CD︰4＝4︰3，∴CD＝ ∴点（0，－）；

当△CDA∽△ABC时，CD︰AB＝CA︰AC，

即CD＝AB＝3 , ∴点（0，1）；

∵点D在y轴负半轴上∴（0，1）舍去

∴综上所述：D点坐标是（0，－）