Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
（1）试说明OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠BOE=∠AOF=90°，

OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF；

（2）解：OE=OF成立；

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF．

【解析】根据正方形对角线互相垂直平分的性质可以证明OA=OB，（1）求证∠1=∠2，进而证明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求证∠E=∠F，进而证明Rt△AOF≌Rt△BOE，根据全等三角形对应边相等的性质即可得OE=OF．
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．