Question

【题目】如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，分别以 AC 和 BC 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 BCDE，过点 D 做 FC 的延长线的垂线，垂足为点 H．

(1)求证：△ABC≌△HDC；

(2)连接 FD，交 AC 的延长线于点 M，若 AG＝ ，tan∠ABC＝ ，求△FCM 的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）先判断出∠ACB＝∠HCD，即可得出结论；（2）先求出△ABC 的面积，进而求出 S△HDC＝S△ABC＝，进而得出 S△DHF＝2S△CDH＝ ，再判断出△FCM∽△FHD，即可得出结论.

（1）∵四边形 BCDE 是正方形，

∴BC＝CD，∠BCD＝90°，

∵四边形 ACFG 是正方形，

∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°，

∴∠ACB＝∠HCD，

∵DH⊥CF，

∴∠H＝90°＝∠BAC，

在△ABC 和△HDC 中， ，

,

∴△ABC≌△HDC；

（2）∵AG＝ ，

∴AC＝，

在 Rt△ABC 中，tan∠ABC＝，

∴AB＝ AC＝ ，

∴S△ABC＝ AB×AC＝ ，

∵△ABC≌△HDC，

∴S△HDC＝S△ABC＝，AC＝CH，

∴CH＝CF，

∴S△DHF＝2S△CDH＝，

∵∠FCM＝∠H＝90°，

∴CM∥HD，

∴△FCM∽△FHD，

∴，

∴S△FCM＝ S△FHD＝.