Question

【题目】如图一，菱形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，且DE⊥AB．

（1）求证：△ABD是等边三角形；

（2）将图一中△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，连接BF，如图二，求线段BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而利用菱形的性质得出AD=AB，即可得出△ABD是等边三角形；

（2）利用旋转的性质以及平行线的性质得出∠FDB=90°，再结合勾股定理得出BF的长.

（1）证明：如图一，

∵点E是AB的中点，且DE⊥AB，

∴AD=BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∴AD=DB=AB，

∴△ABD是等边三角形；

（2）解：如图二，

由（1）得：△ABD是等边三角形，则∠ADE=∠BDE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，

∵DE⊥AB，

∴∠EDC=90°，

∴∠BDF=∠FDC+∠CDB=∠EDB+∠CDB=90°，

∵△ADE绕点D逆时针旋转，使得点A和点C重合，得到△CDF，

∴DF=ED=，BD=2，

∴BF=．

“点睛”此题主要考查了勾股定理以及旋转的性质和等边三角形的判定、菱形的性质等知识，熟练利用已知得出AD=BD是解题关键.