Question

【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a+b=0；

②abc＞0；

③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；

⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，

其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．

解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，

∴2a+b=0，所以①正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∴b=﹣2a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴x=1时，二次函数有最大值，

∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；

∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）

∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．

故选：C．