Question

【题目】如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3），过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC=．

（1）求反比例函数y=和直线y=kx+b的解析式；

（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；

（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA于点M，求∠BMC的度数．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣，y=x﹣2；（2）AC=CD, AC⊥CD，理由见解析；（3）45°.

【解析】分析：（1）由A点坐标可求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得OC的长，可求得C、D点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；

（2）由条件可证明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可证得AC⊥CD；（3）连接AD，可证得四边形AEBD为平行四边形，可得出△ACD为等腰直角三角形，则可求得答案．

本题解析：

（1）∵A（5，0），∴OA=5．∵tan∠OAC=，∴，解得OC=2，

∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，∴y=﹣，

设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），

∴，解得，∴y=x﹣2；

（2）∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，

在△OAC和△BCD中

,∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，

∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD；

（3）∠BMC=45°．

如图，连接AD，

∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，

∴四边形AEBD为平行四边形，

∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，

∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，

∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，

∴∠BMC=∠DAC=45°．