【题目】已知等边三角形ABC，点D是边AC上任意一点，延长BC至E，使CE＝AD．

（1）如图1，点D是AC中点，求证：DB＝DE；

（2）如图2，点D不是AC中点，求证：DB＝DE；

（3）如图3，点D不是AC中点，点F是BD的中点，连接AE，AF，求证：AE＝2AF．

参考答案：

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到BD为∠ABC的角平分线，∠ABC＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理证明；

（2）过D作EF∥DG交AB，交BC于G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）延长AF至H，使FH＝AF，连接DH，证明△ABF≌△HDF，得到AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，证明△ADH≌△ECA，得到AE＝AH，证明结论．

证明：（1）∵在等边△ABC中，D是AC的中点，

∴BD为∠ABC的角平分线，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴

∵CD＝CE，

∴∠CDE＝∠CED，

∵∠CDE+∠CED＝∠ACB，

∴

∴∠CBD＝∠CED＝30°，

∴BD＝DE；

（2）过D作EF∥DG交AB，交BC于G

∴∠DGC＝∠ABC＝60°，又∠DCG＝60°，

∴△DGC为等边三角形，

∴DG＝GC＝CD，

∴BC﹣GC＝AC﹣AD，即AD＝BG，

∵AD＝CE，

∴BG＝CE，

∴BC＝GE，

在△BDC和△EDG中，

，

∴△BDC≌△EDG（SAS）

∴BD＝DE；

（3）延长AF至H，使FH＝AF，连接DH，

在△ABF和△HDF中，

，

∴△ABF≌△HDF（SAS）

∴AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，

∴AC＝HD，AB∥DH，

∴∠ADH＝180°﹣∠BAC＝120°，

在△ADH和△ECA中，

∴△ADH≌△ECA（SAS）

∴AE＝AH，

∵AH＝2AF，

∴AE＝2AF．

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