Question

【题目】已知：如图，一次函数y＝x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y＝kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．

（1）直线CD的函数表达式为　 　；（直接写出结果）

（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．

①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；

②点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x﹣6；（2）①Q的坐标为（，﹣2）或（，2）；②点Q的坐标为（3，3）或（，）．

【解析】

（1）求出C、D两点坐标即可解决问题；

（2）①分两种情形S△BEQ＝S△BDE或S△BEQ＝S△BDE分别构建方程即可；

②分两种情形当：点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中．当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中．分别求解即可

解：（1）由题意：D（4，6），C（2，0），

设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有 ，

解得 ，

∴直线CD的解析式为y＝3x﹣6．

故答案为y＝3x﹣6．

（2）①∵直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，

∴S△BEQ＝S△BDE或S△BEQ＝S△BDE．

在y＝x+3中，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝6．

∴B（0，3），D（4，6）．

在y＝3x﹣6中，当x＝0时，y＝﹣6．

∴E（0，﹣6）．

∴BE＝9．

如图1中，过点D作DH⊥y轴于点H，则DH＝4．

∴S△BDE＝BEDH＝×9×4＝18．

∴S△BEQ＝×18＝6或S△BEQ＝×18＝12．

设Q（t，3t﹣6），由题意知t＞0．

过点Q作QM⊥y轴于点M，则QM＝t．

∴×9×t＝6或×9×t＝12．

解得t＝ 或 ．

当t＝时，3t﹣6＝﹣2；当t＝时3t﹣6＝2．

∴Q的坐标为（，﹣2）或（，2）．

②当点D落在x正半轴上（记为点D1）时，如图2中．

由（2）知B（0，3），D（4，6），

∴BH＝BO＝3．

由翻折得BD＝BD1．

在△Rt△DHB和Rt△D1OB中，

，

∴Rt△DHB≌Rt△D1OB．

∴∠DBH＝∠D1BO．

由翻折得∠DBQ＝∠D1BQ．

∴∠HBQ＝∠OBQ＝90°．

∴BQ∥x轴．

∴点Q的纵坐标为3．

在y＝3x﹣6中，当y＝3时，x＝3．

∴Q（3，3），

当点D落在y负半轴上（记为点D2）时，如图3中．

过点Q作QM⊥BD，QN⊥OB，垂足分别为点M、N．

由翻折得∠DBQ＝∠D2BQ．

∴QM＝QN．

由（2）知S△BDE＝18，即S△BQD+S△BQE＝18．

∴BDQM+BEQN＝18．

在Rt△BDH中，由勾股定理，得BD＝ ＝＝5．

∴×5QN+×9QN＝18．

解得QN＝．

∴点Q的横坐标为．

在y＝3x﹣6中，当x＝时，y＝．

∴Q（，）．

综合知，点Q的坐标为（3，3）或（，）．

故答案为：（1）y＝3x﹣6；（2）①Q的坐标为（，﹣2）或（，2）；②点Q的坐标为（3，3）或（，）．