Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx-4a的对称轴为直线x=，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；

（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）0≤y≤．（2）（0，1）．

【解析】

试题分析：（1）把C（0，4）代入y=ax2+bx-4a得出a=-1，由对称轴得出b=3，即可得出抛物线的解析式；结合图象容易得出当0≤x≤4时y的取值范围；

（2）把点D（m，m+1）代入抛物线解析式，求出m的值；由题意得出CD∥AB，且CD=3，再证明△OBC是等腰直角三角形，得出∠OCB=∠DCB=45°，得出点E在y轴上，OE=1，即可得出点E的坐标．

试题分析：（1）将C（0，4）代入y=ax2+bx-4a中得a=-1

又∵对称轴为直线x=，

∴-=，得b=3．

∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4，

∵y=-x2+3x+4=-（x-）2+．

∴顶点坐标为：（，），

∴当0≤x≤4时y的取值范围是0≤y≤．

（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，

∴m+1=-m2+3m+4，

解得：m=-1，或m=3；

∵点D在第一象限，

∴点D的坐标为（3，4）．

又∵C（0，4），

∴CD∥AB，且CD=3．

当y=-x2+3x+4=0时，

解得：x=-1，或x=4，

∴B（4，0）；

当x=0时，y=4，

∴C（0，4），

∴OB=OC=4，

∴∠OCB=∠DCB=45°，

∴点E在y轴上，且CE=CD=3，

∴OE=1．

即点E的坐标为（0，1）．