【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是____________.

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使，请直接写出相应的BF的长.

参考答案：

【答案】（1）①DE∥AC；②S1＝S2；（2）证明见解析；（3）BF的长为或.

【解析】试题分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；

（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．

解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=AB，

∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

故答案为：DE∥AC；S1=S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2；

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此时S△DCF1=S△BDE；

过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，F1D∥BE，

∴∠F2F1D=∠ABC=60°，

∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，

又∵BD=4，

∴BE=×4÷cos30°=2÷=，

∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，

故BF的长为或．

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