Question

【题目】如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点.

（1）求证：是圆的切线；

（2）若为的中点，求的值；

（3）若，求圆的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2），（3）

【解析】

试题分析：（1）连接OD，然后可得等腰三角形，然后通过等腰三角形的性质求得OD∥AC，然后可根据切线的判定求证即可；

（2）根据等腰三角形的性质和三角形的中位线可证得△AEF∽△ODF，由相似三角形的性质可求解；

（3）根据等腰三角形的性质，和圆的有关性质，可证明△BFD∽△EFA，然后根据相似三角形的性质可求解.

试题解析：（1）

连接，

∵，

∴是等腰三角形，

①，

又在中， ∵，

∴ ②，

则由①②得，，

∴，

∵，

∴，

∴是的切线；

（2）

在中， ∵，

∵由中可知，，

是等腰三角形，

又∵且点是中点，

∴设，则，

连接，则在中，，即，

又∵是等腰三角形，∴是中点，

则在中，是中位线， ∴，

∵， ∴，

在和中，， ∴，

∴，

∴．

（3）设半径为，即，

∵， ∴，

又∵， ∴，

则， ∴，

∴，

∴，

在中， ∵，

∴，

∵，是等腰三角形，

∴，

∴，

在与中，∵，

∴，

解得（舍）

∴综上，的半径为．