Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）四边形BECD是菱形；

（3）∠A=45°时，四边形BECD是正方形．

【解析】

试题分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；

（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

试题解析：（1）∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；

（2）四边形BECD是菱形，

理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，

∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=BD，

∴四边形BECD是菱形；

（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．