Question

【题目】如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；

（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）

（3）使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1－）

【解析】解：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=900，

　　∴四边形OBNM为矩形。

　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900

　　∵，AO=BO=1，

　　∴AM=PM。

　　∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，

　　∴OM=PN，　　∵∠OPC=900，

　　∴∠OPM+CPN=900，

　　又∵∠OPM+∠POM=900　　∴∠CPN=∠POM，

　　∴△OPM≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　（2）∵AM=PM=APsin450= ，

　　∴NC=PM= ，∴BN=OM=PN=1- ；

　　∴BC=BN-NC=1- - =

　　

　　（3）△PBC可能为等腰三角形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）

　　②当点C在第四象限，且PB=CB时，

　　有BN=PN=1－，　　∴BC=PB=PN=-m，

∴NC=BN+BC=1－+-m，

　　由⑵知：NC=PM= ，

　　∴1－+-m= ，　　∴m=1.　　　　　　　　　

　　∴PM= =，BN=1－=1－，　　∴P（,1－）.

∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1－）